ประวัติของตรีโกณมิติ

ประวัติของตรีโกณมิติ

           ตรีโกณมิติ(Trigonometry)ไม่มีใครรู้ว่าเริ่มมีมาตั้งแต่เมื่อใด ใครเป็นผู้คิดค้นหรือเกิดจากชนชาติใด แต่มีการพบบันทึกที่อยู่ใน Rhind papyrus (กระดาษกกที่พบ ณ เมือง Rhind) ที่เขียนไว้เกี่ยวกับcotangent ของมุมที่ฐานของพีระมีด และพบตารางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบินโลน(Plimpton 322) ในตารางเมื่อกำหนดด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะบอกความยาวของด้านที่สาม และน่าสังเกตว่าเป็นค่าของ secants ถ้าได้ศึกษาคณิตศาสตร์สมัยเมโสโปเตียเมียโบราณอาจพบว่า มีการใช้ตรีโกณมิติมาตั้งแต่สมัยนั้นก็ได้ แต่จากการบันทึกข้อมูลการสังเกตดวงดาวของนักดาราศาสตร์ชาวบาบิโลนหลัง 400 ปีก่อนคริสตกาล ชาวกรีกได้น าข้อมูลเหล่านี้มาใช้ศึกษาดาราศาสตร์ อันเป็นจุดเริ่มต้นการศึกษาตรีโกนักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ 

          พวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจากตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกันอย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความื่อ 640-546 ปี ก่อนครีสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือคำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเองอีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง)  โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ  อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์(tangent)  ก่อนจะไปศึกษาควรรู้จัก สมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน

สมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

         รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมอีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b 

       

ที่มา  https://toeyphomphukcpr.wordpress.com

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

         ค่าประมาณ ของค่า sin cos และ tan (ทศนิยม4ตำแหน่ง) หาได้ดั้งตารางต่อไปนี้ โดยหาค่า sin cos และ tan ของมุมที่อยู่ระหว่าง 0องศา – 90องศา จะมีค่าระหว่าง 0 - 1

  

           ตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:x^2+y^2=1
          จาก รูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θกับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ หน่วย เท่าเดิม 

ภาพข้างต้นเป็นภาพตารางหนึ่งหน่วย

ภาพข้างต้นเป็นภาพอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 , 45 และ 60 

ที่มา  http://trigonometry-2.blogspot.com

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

           คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัด รูปสามเหลี่ยมได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น  จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

เมื่อพิจารณามุม A

BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย

CA เรียกว่า ด้านประชิดมุม  A ยาว b หน่วย

AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

เมื่อพิจารณามุม B

AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b หน่วย

CB เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ยาว a หน่วย

BA เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

        สรุปได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

การหาค่า sine, cosine, tangent

    Sine ( sin )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

ไซน์(sine)ของมุมAหรือsin Aคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA /ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a/c  

Cosine ( cos)

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

โคไซน์(cosine)ของมุมAหรือcos Aคือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b/c

Tangent ( tan )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ a/b

ที่มา  http://trigonometry-2.blogspot.com

เทคนิคการจำ

เทคนิคการจำ

Sin A = ข้าม / ฉาก

Cos A =  ชิด / ฉาก

Tan A = ข้าม / ชิด

Cosec  = ส่วนกลับของ Sin

Sec      = ส่วนกลับของ Cos

Cot    = ส่วนกลับของ Tan

ข้าม  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ

ชิด    คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ

ฉาก  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

ภาพข้างต้นเป็นการใช้นิ้วมือในการหาค่ามุม

ที่มา  http://trigonometry-2.blogspot.com